2017年、クェルカスは、約60ページの小さなサイズの小冊子からなる「How to」タイプの新シリーズ「Little Ways to Live a Big Life」を立ち上げました。 2017年は5タイトルが発売されました。 ピアノの弾き方」「何でも描ける方法」「飛行機の着陸方法」、そしてより技術的・科学的な分野では、以下の5タイトルが発売されました。 E=mc^2$を理解する方法」と今回のテキストです。
Marcus Du Sautoyは、次の問題を定式化した序章から始まります。 列挙によって無限大まで数えたい場合。 1,2,3,…と数えようとすると、どんなに速く数えても無限大に達することはできない。 では、無限大に数えることは可能なのでしょうか？ まず始めに、数を数えることは、人類最古の「数学的」活動の1つである。 しかし、無限にある数の和は、まだ有限である可能性がある。 最初の10個はゆっくり数えるが、その後の10個ごとに2倍の速さで数えるとすると、有限の時間で無限に達することを証明しているのである。 しかし、そのためには、最終的に無限に速く数える必要がある。 原始的な言語には、1、2、3はあっても、それ以上は「多」になるものがある。 しかし、これらの人々は、3つ以上の要素を持つ集合が、他の集合より大きいか小さいかを計算することができます。 その方法は、要素を一つずつペアにしていき、大きい方の集合には、小さい方の集合の要素とペアにできない要素がある、というものです。 この対の考え方は、ヒルベルトホテルの比喩として、有理数が自然数の数だけ存在することを説明するのに使われている。 そしてデュソートイは、例えば2の平方根や円周率のような無理数が人々に必要とされていることを説明する。 カントールの対角線原理を使って、有理数より無理数の方が多いことを説明する。 そして、無限大に到達し、さらにその先のレベルへ。 デュソトワはこう結論付けた。 1,2,3 “と数え始めてから、無限大に到達することを願うのではなく、”1,2,3 “と数えることがコツなのです。 そうではなく、視点を変えることで一気に無限を考え、そうすることで、無限が多頭の獣であることを示したのです。 なんと、無限大に到達するまでに48ページしかかからなかったのです。 これが数学的思考の力です。 頭の中の有限の装置を使って、有限の周囲を超越し、無限に触れることができる」数学への詩的な頌歌
数学者が無限について話すときの意味を知りたければ、こちらをどうぞ。 なぜ無限大に1倍、2倍でも無限大より大きくないのか？ 両方とも無限に多くの要素を持つ2つの集合を比較するにはどうすればよいのでしょうか。 一方が他方より大きいということはあり得るのだろうか？ もしあなたがこのような質問に直面したとき，答えを無視するなら，もう言い訳はできない． この小さな冊子には，すべての答えが載っています．素晴らしいことに，数学の知識は必要なく，すぐに読み終えることができます． さて、何を待っているのでしょうか？