|
Zdjęcie wykorzystane za zgodą |
Jeśli nigdy nie sądziłeś, że seksapil można obliczyć matematycznie, pomyśl jeszcze raz. Mężczyźni kraba skrzypka (Uca pugnax) posiadają powiększony pazur główny do walki lub grożenia innym samcom. Ponadto, samce z większymi pazurami przyciągają więcej samic. Seksapil (rozmiar pazurów) danego gatunku kraba skrzypłocza jest określany przez następujące równanie allometryczne: Mc = 0,036 – Mb 1,356, |
|
|
Co to jest allometria?
Allometria to badanie względnej zmiany proporcji jednego atrybutu w stosunku do innego podczas wzrostu organizmu. Te atrybuty mogą być morfologiczne, fizjologiczne, lub w inny sposób. Dobrze znanym przykładem zależności allometrycznej jest masa szkieletu i masa ciała. Konkretnie, szkielet większego organizmu będzie stosunkowo cięższy niż szkielet mniejszego organizmu. Oczywiście wydaje się oczywiste, że cięższe organizmy wymagają cięższych szkieletów. Ale czy równie oczywiste jest to, że cięższe organizmy wymagają nieproporcjonalnie cięższych szkieletów? Jak więc działa ta zależność? Rozważmy następujące dane:
- organizm o wadze 10 kg może potrzebować szkieletu o wadze 0,75 kg,
- organizm o wadze 60 kg może potrzebować szkieletu o wadze 5,3 kg, a jeszcze
- organizm o wadze 110 kg może potrzebować szkieletu o wadze 10,2 kg.
Jak można zauważyć, sprawdzając te liczby, cięższe organizmy potrzebują stosunkowo wołowszych szkieletów, aby je utrzymać. Nie ma stałego wzrostu masy szkieletowej na każde 50 kg wzrostu masy ciała; masa szkieletowa rośnie nieproporcjonalnie do masy ciała.
Allometryczne prawa skalowania są wyprowadzane z danych empirycznych. Naukowcy zainteresowani w odkrywaniu tych praw mierzą wspólną cechę, taką jak masa ciała i wielkość mózgu dorosłych ssaków, w wielu taksonach. Dane są następnie wydobyte dla relacji, z których równania są napisane.
Wzrost allometryczny
Zależności skalowania allometrycznego można opisać za pomocą równania allometrycznego o postaci, f (s) = c s d,
(1) gdzie c i d są stałymi. Zmienne s i f (s) reprezentują dwa różne atrybuty, które porównujemy (np. masę ciała i masę szkieletu). Równanie to może być użyte do zrozumienia związku pomiędzy dwoma atrybutami. W szczególności, stała d w tym modelu określa względne tempo wzrostu dwóch atrybutów reprezentowanych przez s i f (s). Dla uproszczenia rozważmy przypadek d > tylko 0.
- Jeśli d > 1, atrybut dany przez f (s) rośnie nieproporcjonalnie do atrybutu danego przez s. Na przykład, jeśli s reprezentuje rozmiar ciała, to f (s) jest relatywnie większe dla większych ciał niż dla mniejszych ciał.
- Jeżeli 0 < d < 1, to atrybut f (s) rośnie wraz z atrybutem s, ale robi to w tempie wolniejszym niż proporcjonalność.
- Jeśli d = 1, to atrybut f (s) zmienia się jako stała proporcja atrybutu s. Ten specjalny przypadek nazywamy izometrią, a nie allometrią.
Używanie równań allometrycznych
Zauważ, że (1) jest funkcją potęgową, a nie równaniem wykładniczym (stała d jest w pozycji wykładnika zamiast zmiennej s). W przeciwieństwie do innych zastosowań, gdzie potrzebujemy logarytmów, aby pomóc nam rozwiązać równanie, tutaj używamy logarytmów, aby uprościć równanie allometryczne do równania liniowego.
Oto jak to działa
Przepisujemy (1) jako równanie logarytmiczne postaci,
log (f (s)) = log (c s d). (2) Następnie, korzystając z własności logarytmów, możemy przekształcić (2) w następujący sposób, = log c + log (s d), = log c + d log s. (3) Gdy zmienimy zmienne przez niech,
= log f, = log c, = d, = log s. widzimy, że (3) jest w rzeczywistości równaniem liniowym = mx + b. (4) Więc przekształcając równanie allometryczne w jego odpowiednik logarytmiczny otrzymujemy równanie liniowe.
Why Bother?
Przekształcając równanie allometryczne w równanie logarytmiczne, możemy łatwo obliczyć wartości stałych c i d z zestawu danych doświadczalnych. Jeśli na osi x naniesiemy log s, a na osi y log f, to powinniśmy zobaczyć linię o nachyleniu równym d i kącie nachylenia równym log c. Pamiętajmy, że zmienne x i y są tak naprawdę w skali logarytmicznej (ponieważ x = log s i y = log f). Taki wykres nazywamy wykresem log-log.
Ponieważ równania allometryczne są wyprowadzane z danych empirycznych, należy zachować ostrożność w stosunku do danych rozproszonych wokół linii najlepszego dopasowania w płaszczyźnie xy wykresu log-log. Małe odchylenia od linii najlepszego dopasowania są w rzeczywistości większe niż mogą się wydawać. Pamiętajmy, że ponieważ zmienne x i y są na skali logarytmicznej, liniowe zmiany w zmiennych wyjściowych (x i y) odpowiadają wykładniczym zmianom w zmiennych wejściowych (f (s) i s). Ponieważ ostatecznie interesuje nas związek między f i s, musimy być zaniepokojeni nawet niewielkimi odchyleniami od linii najlepszego dopasowania.
Wróćmy teraz do naszego kraba skrzypka jako konkretnego przykładu.
.