BioMath:Allometry

Co je to alometrie?

Alometrie je nauka o relativní změně podílu určitého znaku ve srovnání s jiným znakem během růstu organismu. Tyto atributy mohou být morfologické, fyziologické nebo jiné. Známým příkladem alometrického vztahu je hmotnost kostry a tělesná hmotnost. Konkrétně platí, že kostra většího organismu je relativně těžší než kostra menšího organismu. Samozřejmě se zdá být zřejmé, že těžší organismy vyžadují těžší kostru. Je však stejně jasné, že těžší organismy vyžadují nepoměrně těžší kostry? Jak tedy tento vztah funguje? Uvažujme následující údaje:

• organismus o hmotnosti 10 kg může potřebovat kostru o hmotnosti 0,75 kg,
• organismus o hmotnosti 60 kg může potřebovat kostru o hmotnosti 5,3 kg, a přesto
• organismus o hmotnosti 110 kg může potřebovat kostru o hmotnosti 10,2 kg.

Jak můžete vidět při kontrole těchto čísel, těžší těla potřebují relativně silnější kostry, aby je udržely. Při každém zvýšení tělesné hmotnosti o 50 kg nedochází ke konstantnímu nárůstu hmotnosti kostry; hmotnost kostry se zvyšuje úměrně tělesné hmotnosti .

Zákony alometrického škálování jsou odvozeny z empirických údajů. Vědci, kteří se zajímají o odhalení těchto zákonů, měří společný atribut, například tělesnou hmotnost a velikost mozku dospělých savců, u mnoha taxonů . Z těchto údajů se pak dolují vztahy, na jejichž základě se píší rovnice.

Alometrický růst

Alometrické vztahy škálování lze popsat pomocí alometrické rovnice ve tvaru ,
	f (s) = c s d,		(1)
kde c a d jsou konstanty. Proměnné s a f (s) představují dva různé atributy, které porovnáváme (např. hmotnost těla a hmotnost kostry).

Tuto rovnici lze použít k pochopení vztahu mezi dvěma atributy. Konkrétně konstanta d v tomto modelu určuje relativní rychlost růstu dvou atributů reprezentovaných s a f (s). Pro zjednodušení uvažujme pouze případ d > 0.

• Pokud d > 1, atribut daný f (s) roste neúměrně atributu danému s. Například pokud s představuje velikost těla, pak je f (s) relativně větší pro větší těla než pro menší těla.
• Jestliže 0 < d < 1, atribut f (s) se zvětšuje s atributem s, ale děje se tak pomaleji, než je tempo úměrnosti.
• Jestliže d = 1, pak se atribut f (s) mění jako konstantní podíl atributu s. Tento zvláštní případ se nazývá izometrie, nikoliv alometrie.

Použití alometrických rovnic

Všimněte si, že (1) je mocninná funkce, nikoliv exponenciální rovnice (konstanta d je na místě exponentu místo proměnné s). Na rozdíl od jiných aplikací, kde k řešení rovnice potřebujeme logaritmy, zde používáme logaritmy ke zjednodušení alometrické rovnice na rovnici lineární. Takto to funguje Přepisujeme (1) jako logaritmickou rovnici ve tvaru,
	log (f (s)) = log (c s d).		(2)
Pak můžeme s využitím vlastností logaritmů uspořádat (2) takto,
	log (f)	= log c + log (s d),
		= log c + d log s.	(3)
Když změníme proměnné tak, že necháme,
	y	= log f,
	b	= log c,
	m	= d,
	x	= log s.
vidíte, že (3) je vlastně lineární rovnice
	y	= mx + b.	(4)
Převedením alometrické rovnice na její logaritmický ekvivalent vznikne rovnice lineární. Proč se tím zabývat?“ Přepisem alometrické rovnice na logaritmickou rovnici můžeme snadno vypočítat hodnoty konstant c a d ze souboru experimentálních dat. Pokud na osu x vyneseme log s a na osu y log f, měli bychom vidět přímku se sklonem rovným d a úsečkou y rovnou log c. Nezapomeňte, že proměnné x a y jsou skutečně v logaritmické stupnici (protože x = log s a y = log f). Takovému grafu říkáme logaritmický graf. Protože alometrické rovnice jsou odvozeny z empirických dat, je třeba být obezřetný k datům rozptýleným kolem přímky nejlepší shody v rovině xy log-log grafu. Malé odchylky od přímky nejlepší shody jsou ve skutečnosti větší, než se může zdát. Pamatujte, že vzhledem k tomu, že proměnné x a y jsou na logaritmické stupnici, odpovídají lineární změny výstupních proměnných (x a y) exponenciálním změnám vstupních proměnných (f (s) a s). Protože nás v konečném důsledku zajímá vztah mezi f a s, musíme se zabývat i malými odchylkami od přímky nejlepší shody.

Nyní se vraťme k našemu krabu skřivanovi jako ke konkrétnímu příkladu.

.