(nato a Dordrecht, Paesi Bassi, 24 settembre 1625; morto all’Aia, Paesi Bassi, 20 agosto 1672)
matematica.
De Witt era figlio di Jacob de Witt, borgomastro di Dordrecht, e di Anna van de Corput. Entrambe le famiglie erano membri di spicco della classe dei reggenti che governavano le città e le province dei Paesi Bassi. Entrò nella scuola latina di Dordrecht nel 1636, e andò all’Università di Leida nel 1641. Lì studiò legge e partì per la Francia nel 1645 per prendere la laurea ad Angers. A Leida studiò privatamente matematica con Frans van Schooten il Giovane, e ricevette da lui un’eccellente formazione in matematica cartesiana. De Witt era un matematico di talento che aveva poco tempo da dedicare alla matematica. Divenne pensionato di Dordrecht nel 1650, e gran pensionato d’Olanda nel 1653, il che lo rese il leader del partito degli Stati e, in effetti, il primo ministro dei Paesi Bassi. Fu uno statista di insolita abilità e forza di carattere che guidò gli affari delle Province Unite durante il ventennale interregno della Stadtholdership durante la minorità di Guglielmo d’Orange. Questo fu uno dei periodi più critici della storia olandese, con le tre guerre anglo-olandesi; l’ostilità della fazione degli Orange culminò nell’omicidio di de Witt e di suo fratello Cornelis da parte di una folla nel 1672.
L’opera matematica più importante di de Witt fu il suo Elementa curvarum linearum, scritto prima del 1650 e stampato nella seconda edizione latina di Van Schooten della Géométrie di Descartes (1659-1661). È in due libri: il primo, un trattamento sintetico della teoria geometrica che si trova nei primi libri delle Coniche di Apollonio; e il secondo, uno dei primi sviluppi sistematici della geometria analitica della linea retta e della conica. Nel primo libro i sintomi (espressi in proporzioni) della parabola, dell’ellisse e dell’iperbole sono derivati come luoghi piani, piuttosto che come sezioni del cono. Le sue definizioni dei luoghi dell’ellisse ci sono familiari oggi: la costruzione dell’angolo eccentrico (un punto fisso rispetto a un segmento rotante); la costruzione del tramaglio (un punto fisso su un segmento dato che si muove su due linee intersecanti); e la costruzione della “corda”, basata sulla definizione a due focolai. Per l’iperbole e la parabola il luogo è costruito come l’intersezione dei membri corrispondenti di due matite di linee, una parallela e una concorrente. In termini moderni questi sono interessanti esempi involontari della definizione proiettiva Steiner-Chasles delle coniche, dove il vertice di una matita è all’infinito.
De Witt ha il merito di aver introdotto il termine “directrix” per la parabola, ma è chiaro dalla sua derivazione che non usa il termine per la linea fissa della nostra definizione focus-directrix. Date le rette fisse DB ed EF che si intersecano in D, con B il polo ed EF la direttrice: per qualsiasi punto H su EF, se ∠HBL è costruito uguale a ∠FDB, una linea passante per H parallela a BD taglia BL in G, un punto del luogo. Si traccia AC attraverso B con ∠DBC = ∠BDF, tagliando HG in I, e si traccia GK parallelamente ad AC. Poiché i triangoli BDH e GKB sono simili, (BI)2 =(BD) (BK) o y2 = px, una parabola con vertice in B, ascissa BK = x, e ordinata KG = y. Se EF è perpendicolare a DB, risulta un sistema di coordinate rettangolari, ma EF non è la nostra direttrice.
Nel primo libro degli Elementa de Witt non solo liberò le coniche dal cono con le sue costruzioni cinematiche, ma soddisfece i criteri cartesiani di costruibilità. Questo libro fu scritto, come riferì a van Schooten, per dare uno sfondo al nuovo sviluppo analitico del secondo libro. Iniziò il trattamento analitico mostrando che le equazioni di primo grado rappresentano linee rette. Come era usuale all’epoca non usò le coordinate negative, graficizzando solo segmenti o raggi nel primo quadrante. Spiegò attentamente la costruzione effettiva delle rette per coefficienti arbitrari
perché sarebbero state necessarie nelle sue trasformazioni che riducevano le equazioni quadratiche generali alle coniche tipo. Per ogni conica de Witt iniziò con equazioni semplificate equivalenti alle sue forme standard nel libro I, e poi usò traslazioni e rotazioni per ridurre le equazioni più complicate alle forme canoniche. Per esempio, nell’iperbole
egli lascia
e poi
v = x + h
dove h è il coefficiente del termine lineare in x dopo la prima sostituzione, dando
un’iperbole standard che taglia i nuovi assi v o z secondo che hh è maggiore o minore di. Anche se de Witt sembra essere consapevole della caratteristica dell’equazione quadratica generale nella scelta dei suoi esempi, non menziona esplicitamente il suo uso per determinare il tipo di conica, tranne nel caso della parabola. Lì afferma che, se i termini di secondo grado sono un quadrato perfetto, l’equazione rappresenta una parabola.
L’ultimo capitolo è un riassunto delle varie trasfomazioni che mostrano come costruire i grafici di tutte le equazioni di secondo grado. Ogni caso di coefficienti positivi e negativi deve essere trattato separatamente in un disegno, ma la discussione per ogni curva è completamente generale, e sono disegnati sia gli assi originali che quelli trasformati.
In aggiunta alle semplificazioni algebriche delle curve in forma normale, il libro II contiene la solita proprietà focus-directrix della parabola e le derivazioni analitiche dell’eilipse e dell’iperbole come il luogo dei punti la cui somma o differenza delle distanze da due punti fissi è una costante. Questi sono fatti nel modo moderno, squadrando due volte, con l’uso esplicito del teorema di Pitagora al posto della più recente formula della distanza.
L’Elementa di De Witt e il Tractatus de sectionibus conicis di John Wallis (1655) sono considerati i primi libri di testo in geometria analitica. Anche se Wallis ha sollevato la questione della priorità, i loro approcci erano diversi e completamente indipendenti. Wallis definì prima le coniche come equazioni di secondo grado e dedusse le proprietà delle curve dalle equazioni, mentre de Witt le dedusse geometricamente nel piano, e poi mostrò che le equazioni quadratiche potevano essere ridotte alle sue forme normali.
Christiaan Huygens una volta scrisse a John Wallis di de Witt: “Se avesse potuto risparmiare tutte le sue forze per lavori matematici, ci avrebbe superato tutti”. La sua geometria è stato il suo unico contributo alla matematica pura, ma ha legato i suoi interessi matematici ai problemi finanziari della provincia d’Olanda durante il suo lungo mandato di gran pensionato. Il mezzo principale per raccogliere denaro per gli Statres era tramite rendite vitalizie o fisse. Nel 1665 de Witt riuscì a ridurre il tasso di interesse dal 5 al 4% e stabilì un fondo di ammortamento con gli interessi risparmiati dalla conversione accumulati ad interesse composto da applicare al debito dell’Olanda, che poteva così essere pagato in quarantuno anni. La seconda guerra anglo-olandese (1665-1667), tuttavia, sconfisse questo schema. Le guerre inglesi erano un drenaggio finanziario perpetuo, e più della metà delle spese (quasi solo i costi della guerra) fu inghiottita dal pagamento degli interessi.
Nell’aprile del 1671 si decise di negoziare i fondi con rendite vitalizie, limitando così il debito ad una generazione. De Witt preparò un trattato per gli Stati d’Olanda dimostrando matematicamente che le rendite vitalizie venivano offerte ad un tasso d’interesse troppo alto rispetto alle rendite fisse. Per molti anni i tassi di regola per le rendite vitalizie erano stati il doppio del tasso di interesse standard; l’Olanda aveva recentemente ridotto il tasso di interesse a venticinque anni di acquisto (4%) e stava vendendo rendite vitalizie a quattordici anni di acquisto (7%). De Witt voleva aumentare il prezzo a sedici anni di acquisto (6¼%). Il suo Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Losrenten (luglio 1671) è certamente tra i primi tentativi di applicare la teoria della probabilità ai problemi economici. Fu scritto come un documento politico, e rimase sepolto negli archivi per quasi duecento anni. Dalla sua scoperta e pubblicazione da parte di Frederick Hendriks nel 1852 ci sono stati molti articoli (alcuni dei quali sono elencati nella bibliografia) che lo spiegano o lo criticano sulla base della moderna scienza attuariale. In realtà si tratta di una dissertazione molto semplice e ingegnosa basata solo sull’uso del principio dell’aspettativa matematica per formare contratti uguali.
De Witt elencò i valori attuali al 4% di pagamenti di rendite di 10.000.000 di stuyver (per evitare i decimali) per semestre, e sommò le aspettative matematiche usando ipotetici tassi di mortalità per diverse età. Dapprima presuppose che un uomo ha la stessa probabilità di morire nella prima o nell’ultima metà di qualsiasi anno, e poi, poiché le rendite erano generalmente acquistate su vite giovani, estese questo a qualsiasi semestre degli “anni di pieno vigore” dai tre ai cinquantatré anni. Per semplicità considerò i primi cento anni e mezzo ugualmente distruttivi o mortali, anche se affermò che la probabilità di decesso è effettivamente minore nei primi anni. Così anche lui si fermò all’età di ottant’anni, anche se molti vivono oltre quell’età. Nei dieci anni successivi, da cinquantatré a sessantatré, la probabilità di morire non supera più che nella proporzione di 3 a 2 la probabilità di morire nel primo periodo; da sessantatré a settantatré, la probabilità di morire non è più di 2 a 1; e da settantatré a ottanta, non più di 3 a 1.
De Witt dà molti esempi per spiegare l’uso del concetto di aspettativa matematica. Il seguente è fondamentale per i suoi calcoli successivi, ed è stato trascurato da molti commentatori. Consideriamo un uomo di quarant’anni e un uomo di cinquantotto. Secondo i suoi presupposti, le probabilità che l’uomo più anziano muoia rispetto all’uomo più giovane sono di 3 a 2. Un contratto uguale potrebbe essere concepito: se la persona di cinquantotto anni muore in sei mesi, l’uomo più giovane eredita 2.000 fiorini, ma se l’uomo di quaranta muore in sei mesi, l’anziano eredita 3.000 fiorini. Cioè, la possibilità che l’uomo di cinquantotto anni guadagni 3.000 fiorini è come 2 a 3, o, in termini di calcoli di rendita di de Witt, la possibilità di ricevere un particolare pagamento di rendita nel secondo periodo è di due terzi che nel primo periodo.
Da questo ragionamento i calcoli di de Witt sono semplici: egli somma i valori attuali per i primi cento semestri; tre terzi dei valori attuali per i successivi venti semestri; per i successivi venti, metà dei valori attuali; e un terzo per gli ultimi quattordici. Tutti questi sono sommati e la media presa, dando un po’ più di sedici fiorini come valore attuale di un fiorino di rendita su una vita giovane e sana. Se il metodo fosse stato applicato alle tavole di mortalità reali, il lavoro sarebbe stato formidabile. Più tardi, nel 1671, de Witt e Jan Hudde si confrontarono sul problema delle rendite di reversibilità su più di una vita, e qui entrambi usarono cifre reali di mortalità prese dai registri di rendita dell’Olanda. Lavorando con diversi gruppi di almeno cento persone di una data età, de Witt sviluppò tassi appropriati per le rendite su due vite. Questi furono estesi a posteriori a qualsiasi numero di vite da un triangolo di Pascal, con la promessa a Hudde di stabilire i risultati a priori. Questo fu il culmine del lavoro di de Witt con le rendite, ma per ragioni politiche suggerì a Hudde che il pubblico non fosse informato dei risultati del loro studio, dato che erano disposti a comprare rendite su più di una vita al tasso corrente, che era favorevole al governo.
BIBLIOGRAFIA
I. Opere originali. Elementa curvarum linearum, in Frans van Schooten’ Latin ed. of Descartes’s Géométrie, Geometria a Renato Descartes (Amsterdam, 1659-1661). Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Los-renten (The Hague, 1671; facs. ed. Haarlem, 1879). Sei volumi di lettere in Werken van het Historish Genootschap te Utrecht, 3d ser., XVIII, XXV, XXXI, XXXIII, XLII, XLIV (1906-1922). Il volume XXXIII contiene lettere a e da matematici, comprese le lettere a Jan Hudde sulle rendite su più di una vita.
II. Letteratura secondaria. Tra le molte biografie di de Witt, Nicolaas Japikse, Johan de Witt (Amsterdam, 1915), è indispensabile. Ancora prezioso è G. A. Lefévre-Pontalis, Jean de Witt, Grand Pensionnaire de Hollande, 2 voll. (Parigi, 1884); trad. inglese, S. F. Stephenson e A. Stephenson (Londra, 1885). Per una discussione affidabile del periodo e delle relazioni tra de Witt e Guglielmo III, vedi Pieter Ceyl, The Netherlands in the Seventeenth Century, Part Two 1648-1715 (Londra, 1964), e il suo Oranje en Stuart (Utrecht, 1939), traduzione inglese di Arnold Pomerans (Londra, 1969). Per la geometria vedi P. van Geer, “Johan de Witt als Wiskundige,” in Nieuw Archief voor Wiskundige, 2a ser, 11 (1915), 98-126; e C. B. Boyer, History of Analytic Geometry (New York, 1956).
Una traduzione inglese del lavoro sulle rendite vitalizie può essere trovata in Frederick Hendricks, “Contributions to the History of Insurance . . . a Restoration of the Grand Pensionary De Witt’ Treatise on Life Annuities,” in The Assurance Magazine (ora Journal of the Institute of Actuaries), 2 (1852), 230-258. Vols. 3 (1901), 10 (1908), e 11 (1909) dell’Archief voor Verzekeringe Wetenschap contengono articoli che offrono diverse critiche e spiegazioni degli scritti di de Witt sulle rendite.
Joy B. Easton