(geb. Dordrecht, Niederlande, 24. September 1625; gest. Den Haag, Niederlande, 20. August 1672)
Mathematiker.
De Witt war der Sohn von Jacob de Witt, Bürgermeister von Dordrecht, und Anna van de Corput. Beide Familien waren prominente Mitglieder der Regentenschicht, die die Städte und Provinzen der Niederlande regierte. Er besuchte 1636 die Lateinschule in Dordrecht und ging 1641 an die Universität Leiden. Dort studierte er Rechtswissenschaften und ging 1645 nach Frankreich, um in Angers seinen Abschluss zu machen. In Leiden studierte er privat Mathematik bei Frans van Schooten dem Jüngeren und erhielt von ihm eine ausgezeichnete Ausbildung in kartesischer Mathematik. De Witt war ein begabter Mathematiker, der wenig Zeit hatte, sich der Mathematik zu widmen. Er wurde 1650 Pensionär von Dordrecht und 1653 Großpensionär von Holland, was ihn zum Führer der Staatspartei und faktisch zum Premierminister der Niederlande machte. Er war ein Staatsmann von ungewöhnlichem Geschick und Charakterstärke, der die Angelegenheiten der Vereinigten Provinzen während des zwanzigjährigen Interregnums im Stadthalteramt während der Minderheit von Wilhelm von Oranien leitete. Dies war eine der kritischsten Perioden in der niederländischen Geschichte, mit den drei anglo-holländischen Kriegen; die Feindseligkeit der Oranier-Fraktion gipfelte in der Ermordung von de Witt und seinem Bruder Cornelis durch einen Mob im Jahr 1672.
De Witts wichtigstes mathematisches Werk war seine Elementa curvarum linearum, geschrieben vor 1650 und gedruckt in Van Schooten’s zweiter lateinischer Ausgabe von Descartes‘ Géométrie (1659-1661). Es besteht aus zwei Büchern: dem ersten, einer synthetischen Behandlung der geometrischen Theorie, die in den frühen Büchern von Apollonius‘ Conics zu finden ist, und dem zweiten, einer der ersten systematischen Entwicklungen der analytischen Geometrie der Geraden und Kegel. Im ersten Buch werden die Symptome (ausgedrückt als Proportionen) der Parabel, Ellipse und Hyperbel als ebene Loci und nicht als Abschnitte des Kegels abgeleitet. Seine Ortsdefinitionen der Ellipse sind uns heute vertraut: die Konstruktion des exzentrischen Winkels (ein Punkt, der in Bezug auf ein rotierendes Segment fixiert ist); die Konstruktion des Trammels (ein fixer Punkt auf einem gegebenen Segment, der sich auf zwei sich schneidenden Linien bewegt); und die Konstruktion der „Schnur“, die auf der Definition des Zweifokus beruht. Für die Hyperbel und die Parabel wird die Ortskurve als Schnittpunkt der entsprechenden Elemente zweier Linienbündel konstruiert, von denen eines parallel und das andere konkurrierend ist. Aus heutiger Sicht sind dies interessante, unbeabsichtigte Beispiele für die projektive Definition der Kegelschnitte nach Steiner und Chasles, bei denen der Scheitelpunkt eines Bleistifts im Unendlichen liegt.
De Witt wird die Einführung des Begriffs „Directrix“ für die Parabel zugeschrieben, aber aus seiner Herleitung geht klar hervor, dass er diesen Begriff nicht für die feste Linie unserer Fokus-Direktrix-Definition verwendet. Gegeben sind feste Linien DB und EF, die sich in D schneiden, wobei B der Pol und EF die Leitlinie ist: Wenn für jeden Punkt H auf EF ∠HBL gleich ∠FDB konstruiert wird, schneidet eine Linie durch H, die parallel zu BD verläuft, BL in G, einen Punkt auf der Ortskurve. AC wird durch B mit ∠DBC = ∠BDF gezogen und schneidet HG in I, und GK wird parallel zu AC gezogen. Da die Dreiecke BDH und GKB ähnlich sind, ergibt sich (BI)2 =(BD) (BK) oder y2 = px, eine Parabel mit dem Scheitelpunkt bei B, der Abszisse BK = x und der Ordinate KG = y. Wenn EF senkrecht auf DB steht, ergibt sich ein rechtwinkliges Koordinatensystem, aber EF ist nicht unsere Leitlinie.
Im ersten Buch der Elementa hat de Witt mit seinen kinematischen Konstruktionen nicht nur die Kegel vom Kegel befreit, sondern auch die kartesischen Kriterien der Konstruierbarkeit erfüllt. Dieses Buch wurde geschrieben, wie er van Schooten berichtete, um einen Hintergrund für die neue analytische Entwicklung des zweiten Buches zu schaffen. Er begann die analytische Behandlung, indem er zeigte, dass Gleichungen ersten Grades gerade Linien darstellen. Wie es damals üblich war, verwendete er keine negativen Koordinaten, sondern stellte nur Segmente oder Strahlen im ersten Quadranten dar. Er erläuterte sorgfältig die eigentliche Konstruktion der Geraden für beliebige Koeffizienten
, da sie in seinen Umformungen zur Reduzierung allgemeiner quadratischer Gleichungen auf Kegelschnitte benötigt würden. Für jede Konik begann de Witt mit vereinfachten Gleichungen, die seinen Standardformen in Buch I entsprachen, und verwendete dann Translationen und Rotationen, um kompliziertere Gleichungen auf die kanonischen Formen zu reduzieren. Zum Beispiel lässt er bei der Hyperbel
und dann
v = x + h
, wobei h der Koeffizient des linearen Terms in x nach der ersten Substitution ist, eine Standardhyperbel entstehen, die die neue v- oder z-Achse schneidet, je nachdem, ob hh größer oder kleiner als ist. Obwohl sich de Witt bei der Auswahl seiner Beispiele der Besonderheit der allgemeinen quadratischen Gleichung bewusst zu sein scheint, erwähnt er ihre Verwendung zur Bestimmung der Art der Kegelform nicht ausdrücklich, außer im Fall der Parabel. Dort stellt er fest, dass die Gleichung eine Parabel darstellt, wenn die Terme zweiten Grades ein perfektes Quadrat sind.
Das letzte Kapitel ist eine Zusammenfassung der verschiedenen Umformungen, die zeigen, wie man die Graphen aller Gleichungen zweiten Grades konstruiert. Jeder Fall von positiven und negativen Koeffizienten muss in einer Zeichnung gesondert behandelt werden, aber die Diskussion für jede Kurve ist völlig allgemein, und sowohl ursprüngliche als auch transformierte Achsen werden gezeichnet.
Zusätzlich zu den algebraischen Vereinfachungen der Kurven in Normalform enthält Buch II die übliche Fokus-Direktrix-Eigenschaft der Parabel und die analytischen Ableitungen der Eilipse und Hyperbel als Ort von Punkten, deren Summe oder Differenz der Abstände von zwei festen Punkten eine Konstante ist. Diese Ableitungen erfolgen auf moderne Art und Weise, indem zweimal quadriert wird und anstelle der neueren Abstandsformel ausdrücklich der Satz des Pythagoras verwendet wird.
De Witts Elementa und John Wallis‘ Tractatus de sectionibus conicis (1655) gelten als die ersten Lehrbücher der analytischen Geometrie. Obwohl Wallis die Frage nach der Priorität aufwarf, waren ihre Ansätze unterschiedlich und völlig unabhängig. Wallis definierte die Konikkurven zunächst als Gleichungen zweiten Grades und leitete die Eigenschaften der Kurven aus den Gleichungen ab, während de Witt sie geometrisch in der Ebene ableitete und dann zeigte, dass quadratische Gleichungen auf seine Normalformen reduziert werden können.
Christiaan Huygens schrieb John Wallis einmal über de Witt: „Hätte er seine ganze Kraft für mathematische Arbeiten aufgespart, hätte er uns alle übertroffen.“ Seine Geometrie war sein einziger Beitrag zur reinen Mathematik, aber er verband seine mathematischen Interessen mit den finanziellen Problemen der Provinz Holland während seiner langen Amtszeit als Großrentner. Das wichtigste Mittel, um Geld für die Statres zu beschaffen, waren lebenslange oder feste Annuitäten. Im Jahr 1665 gelang es de Witt, den Zinssatz von 5 auf 4 Prozent zu senken und einen Tilgungsfonds einzurichten, in den die durch die Umwandlung eingesparten Zinsen mit Zinseszins einfließen sollten, um die Schulden Hollands zu tilgen, die auf diese Weise in einundvierzig Jahren beglichen werden konnten. Der zweite englisch-niederländische Krieg (1665-1667) machte dieses Vorhaben jedoch zunichte. Die englischen Kriege waren eine ständige finanzielle Belastung, und mehr als die Hälfte der Ausgaben (fast allein die Kriegskosten) wurden durch Zinszahlungen verschlungen.
Im April 1671 wurde beschlossen, die Mittel durch Leibrenten auszuhandeln und so die Schulden auf eine Generation zu begrenzen. De Witt erstellte eine Abhandlung für die holländischen Staaten, in der er mathematisch nachwies, dass Leibrenten im Vergleich zu Festrenten zu hoch verzinst wurden. Holland hatte vor kurzem den Zinssatz auf fünfundzwanzig Jahre (4 %) gesenkt und verkaufte Leibrenten für vierzehn Jahre (7 %). De Witt wollte den Preis auf sechzehn Jahre Kaufzeit (6¼ Prozent) anheben. Seine Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Losrenten (Juli 1671) ist sicherlich einer der ersten Versuche, die Wahrscheinlichkeitstheorie auf wirtschaftliche Probleme anzuwenden. Es wurde als politische Abhandlung verfasst und blieb fast zweihundert Jahre lang in den Archiven vergraben. Seit seiner Entdeckung und Veröffentlichung durch Frederick Hendriks im Jahr 1852 sind zahlreiche Artikel erschienen (von denen einige in der Bibliographie aufgeführt sind), in denen er auf der Grundlage der modernen Versicherungsmathematik erläutert oder kritisiert wird. Es handelt sich eigentlich um eine sehr einfache und geniale Dissertation, die nur auf der Anwendung des Prinzips der mathematischen Erwartung zur Bildung von gleichwertigen Verträgen beruht.
De Witt listete die Gegenwartswerte von Rentenzahlungen von 10.000.000 Stuyvers (um Dezimalstellen zu vermeiden) pro Halbjahr zu 4 Prozent auf und summierte die mathematischen Erwartungen unter Verwendung hypothetischer Sterblichkeitsraten für verschiedene Altersstufen. Er ging zunächst davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann in der ersten oder letzten Hälfte eines Jahres stirbt, gleich groß ist, und dehnte dies dann, da Renten im Allgemeinen auf junge Leben gekauft wurden, auf jedes halbe Jahr der „Jahre voller Lebenskraft“ von drei bis dreiundfünfzig Jahren aus. Der Einfachheit halber betrachtete er die ersten hundert halben Jahre als gleichermaßen zerstörerisch oder sterblich, obwohl er feststellte, dass die Wahrscheinlichkeit des Ablebens in den ersten Jahren tatsächlich geringer ist. So hörte er auch im Alter von achtzig Jahren auf, obwohl viele über dieses Alter hinaus leben. In den nächsten zehn Jahren, von dreiundfünfzig bis dreiundsechzig, übersteigt die Wahrscheinlichkeit zu sterben nicht mehr als im Verhältnis 3 zu 2 die Wahrscheinlichkeit, in der ersten Periode zu sterben; von dreiundsechzig bis dreiundsiebzig beträgt die Wahrscheinlichkeit zu sterben nicht mehr als 2 zu 1; und von dreiundsiebzig bis achtzig nicht mehr als 3 zu 1.
De Witt gibt viele Beispiele, um die Verwendung des Konzepts der mathematischen Erwartung zu erklären. Das folgende Beispiel ist grundlegend für seine späteren Berechnungen und wurde von vielen Kommentatoren übersehen. Nehmen wir einen Mann von vierzig und einen Mann von achtundfünfzig Jahren. Nach seinen Annahmen ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Ältere stirbt, im Vergleich zum Jüngeren 3 zu 2. Man könnte einen gleichwertigen Vertrag ausarbeiten: Wenn der Achtundfünfzigjährige in sechs Monaten stirbt, erbt der Jüngere 2.000 Gulden, aber wenn der Vierzigjährige in sechs Monaten stirbt, erbt der Ältere 3.000 Gulden. Das heißt, die Chance, dass der achtundfünfzigjährige Mann 3.000 Gulden erbt, ist 2 zu 3, oder, in Bezug auf die Rentenberechnungen von de Witt, die Chance, eine bestimmte Rentenzahlung in der zweiten Periode zu erhalten, ist zwei Drittel derjenigen in der ersten Periode.
Aus dieser Überlegung heraus sind de Witts Berechnungen einfach: Er summiert die Gegenwartswerte für die ersten hundert Halbjahre; zwei Drittel der Gegenwartswerte für die nächsten zwanzig Halbjahre; für die nächsten zwanzig die Hälfte der Gegenwartswerte; und ein Drittel für die letzten vierzehn. Alle diese Werte werden addiert und der Durchschnitt genommen, was etwas mehr als sechzehn Gulden als Gegenwartswert einer Guldenrente bei einem jungen und gesunden Leben ergibt. Wäre die Methode auf aktuelle Sterbetafeln angewandt worden, wäre der Aufwand gewaltig gewesen. Später, im Jahr 1671, korrespondierten de Witt und Jan Hudde über das Problem der Hinterbliebenenrenten für mehr als ein Leben, und hier verwendeten beide tatsächliche Sterblichkeitszahlen aus den holländischen Rentenbüchern. Indem er mit mehreren Gruppen von mindestens hundert Personen eines bestimmten Alters arbeitete, entwickelte de Witt geeignete Sätze für Renten auf zwei Leben. Diese wurden durch ein Pascalsches Dreieck a posteriori auf eine beliebige Anzahl von Leben ausgedehnt, mit dem Versprechen an Hudde, die Ergebnisse a priori zu ermitteln. Dies war der Höhepunkt von de Witts Arbeit mit Annuitäten, aber aus politischen Gründen schlug er Hudde vor, die Öffentlichkeit nicht über die Ergebnisse ihrer Studie zu informieren, da sie bereit waren, Annuitäten auf mehr als ein Leben zu dem aktuellen Satz zu kaufen, der für die Regierung günstig war.
BIBLIOGRAPHIE
I. Originalwerke. Elementa curvarum linearum, in Frans van Schooten‘ Lateinische Ausgabe von Descartes‘ Géométrie, Geometria a Renato Descartes (Amsterdam, 1659-1661). Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Los-renten (Den Haag, 1671; facs. ed. Haarlem, 1879). Sechs Bände mit Briefen in Werken van het Historish Genootschap te Utrecht, 3d ser., XVIII, XXV, XXXI, XXXIII, XLII, XLIV (1906-1922). Band XXXIII enthält Briefe an und von Mathematikern, darunter die Briefe an Jan Hudde über Renten auf mehr als ein Leben.
II. Sekundärliteratur. Von den vielen Biographien über de Witt ist Nicolaas Japikse, Johan de Witt (Amsterdam, 1915), unverzichtbar. Noch wertvoller ist G. A. Lefévre-Pontalis, Jean de Witt, Grand Pensionnaire de Hollande, 2 Bde. (Paris, 1884); englische Übersetzung, S. F. Stephenson und A. Stephenson (London, 1885). Für eine verlässliche Erörterung des Zeitraums und der Beziehungen zwischen de Witt und Wilhelm III. siehe Pieter Ceyl, The Netherlands in the Seventeenth Century, Part Two 1648-1715 (London, 1964), und sein Oranje en Stuart (Utrecht, 1939), englische Übersetzung, Arnold Pomerans (London, 1969). Zur Geometrie siehe P. van Geer, „Johan de Witt als Wiskundige“, in Nieuw Archief voor Wiskundige, 2. ser, 11 (1915), 98-126; und C. B. Boyer, History of Analytic Geometry (New York, 1956).
Eine englische Übersetzung des Werks über Leibrenten findet sich in Frederick Hendricks, „Contributions to the History of Insurance … a Restoration of the Grand Pensionary De Witt‘ Treatise on Life Annuities,“ in The Assurance Magazine (jetzt Journal of the Institute of Actuaries), 2 (1852), 230-258. Vols. 3 (1901), 10 (1908) und 11 (1909) des Archief voor Verzekeringe Wetenschap enthalten Artikel mit unterschiedlichen Kritiken und Erklärungen zu de Witts Schriften über Renten.
Joy B. Easton