(nacido en Dordrecht, Países Bajos, el 24 de septiembre de 1625; fallecido en La Haya, Países Bajos, el 20 de agosto de 1672)
matemático.
De Witt era hijo de Jacob de Witt, burgomaestre de Dordrecht, y de Anna van de Corput. Ambas familias eran miembros destacados de la clase regente que gobernaba las ciudades y provincias de los Países Bajos. Ingresó en la escuela de latín de Dordrecht en 1636, y en 1641 ingresó en la Universidad de Leiden. Allí estudió Derecho, y en 1645 se marchó a Francia para licenciarse en Angers. En Leiden estudió matemáticas de forma privada con Frans van Schooten el Joven, y recibió de él una excelente formación en matemáticas cartesianas. De Witt era un matemático de talento que tenía poco tiempo para dedicarse a las matemáticas. Fue nombrado pensionista de Dordrecht en 1650 y gran pensionista de Holanda en 1653, lo que le convirtió en el líder del Partido de los Estados y, de hecho, en el primer ministro de los Países Bajos. Fue un estadista de inusual habilidad y fuerza de carácter que dirigió los asuntos de las Provincias Unidas durante el interregno de veinte años en la jefatura del Estado durante la minoría de Guillermo de Orange. Este fue uno de los periodos más críticos de la historia holandesa, con las tres guerras anglo-holandesas; la hostilidad de la facción de Orange culminó con el asesinato de de Witt y su hermano Cornelis a manos de una turba en 1672.
La obra matemática más importante de de Witt fue su Elementa curvarum linearum, escrita antes de 1650 e impresa en la segunda edición latina de Van Schooten de la Géométrie de Descartes (1659-1661). Consta de dos libros: el primero, un tratamiento sintético de la teoría geométrica que se encuentra en los primeros libros de las Cónicas de Apolonio; y el segundo, uno de los primeros desarrollos sistemáticos de la geometría analítica de la recta y la cónica. En el primer libro, los síntomas (expresados como proporciones) de la parábola, la elipse y la hipérbola se derivan como lugares planos, en lugar de como secciones de la cónica. Sus definiciones de locus de la elipse nos resultan familiares hoy en día: la construcción del ángulo excéntrico (un punto fijo con respecto a un segmento que gira); la construcción del trasmallo (un punto fijo en un segmento dado que se mueve sobre dos líneas de intersección); y la construcción de la «cuerda», basada en la definición de dos focos. Para la hipérbola y la parábola el lugar geométrico se construye como la intersección de los miembros correspondientes de dos lápices de líneas, uno paralelo y otro concurrente. En términos modernos, estos son interesantes ejemplos no intencionados de la definición proyectiva de Steiner-Chasles de las cónicas, donde el vértice de un lápiz está en el infinito.
Se atribuye a De Witt la introducción del término «directriz» para la parábola, pero está claro por su derivación que no utiliza el término para la línea fija de nuestra definición de foco-directriz. Dadas las líneas fijas DB y EF que se cruzan en D, siendo B el polo y EF la directriz: para cualquier punto H en EF, si ∠HBL se construye igual a ∠FDB, una línea que pasa por H paralela a BD corta a BL en G, un punto del lugar geométrico. AC se traza a través de B con ∠DBC = ∠BDF, cortando a HG en I, y GK se traza paralelo a AC. Como los triángulos BDH y GKB son semejantes, (BI)2 =(BD) (BK) o y2 = px, una parábola con vértice en B, abscisa BK = x, y ordenada KG = y. Si EF es perpendicular a DB, resulta un sistema de coordenadas rectangular, pero EF no es nuestra directriz.
En el primer libro de los Elementa de Witt no sólo liberó a las cónicas del cono con sus construcciones cinemáticas, sino que satisfizo los criterios cartesianos de constructibilidad. Este libro fue escrito, como informó a van Schooten, para dar un trasfondo al nuevo desarrollo analítico del segundo libro. Comenzó el tratamiento analítico mostrando que las ecuaciones de primer grado representan líneas rectas. Como era habitual en la época, no utilizó coordenadas negativas, graficando sólo segmentos o rayos en el primer cuadrante. Explicó cuidadosamente la construcción real de las rectas para coeficientes arbitrarios
ya que serían necesarias en sus transformaciones que reducen las ecuaciones cuadráticas generales a cónicas tipo. Para cada cónica, de Witt comenzó con ecuaciones simplificadas equivalentes a sus formas estándar del libro I, y luego utilizó traslaciones y rotaciones para reducir las ecuaciones más complicadas a las formas canónicas. Por ejemplo, en la hipérbola
deja
y luego
v = x + h
donde h es el coeficiente del término lineal en x después de la primera sustitución, dando
una hipérbola estándar que corta los nuevos ejes v o z según hh sea mayor o menor. Aunque de Witt parece ser consciente de la característica de la ecuación cuadrática general en la elección de sus ejemplos, no menciona explícitamente su uso para determinar el tipo de cónica excepto en el caso de la parábola. Allí afirma que, si los términos del segundo grado son un cuadrado perfecto, la ecuación representa una parábola.
El último capítulo es un resumen de las diversas transfomaciones que muestran cómo construir las gráficas de todas las ecuaciones de segundo grado. Cada caso de coeficientes positivos y negativos debe tratarse por separado en un dibujo, pero la discusión para cada curva es completamente general, y se dibujan tanto los ejes originales como los transformados.
Además de las simplificaciones algebraicas de las curvas a la forma normal, el libro II contiene la propiedad habitual de foco-dirección de la parábola y las derivaciones analíticas de la eilipse y la hipérbola como el lugar de los puntos la suma o diferencia de cuyas distancias a dos puntos fijos es una constante. Éstas se realizan a la manera moderna, elevando al cuadrado dos veces, con el uso explícito del teorema de Pitágoras en lugar de la fórmula de distancia más reciente.
El Elementa de Witt y el Tractatus de sectionibus conicis de John Wallis (1655) se consideran los primeros libros de texto de geometría analítica. Aunque Wallis planteó la cuestión de la prioridad, sus enfoques eran diferentes y completamente independientes. Wallis definió primero las cónicas como ecuaciones de segundo grado y dedujo las propiedades de las curvas a partir de las ecuaciones, mientras que de Witt las dedujo geométricamente en el plano, y luego demostró que las ecuaciones cuadráticas podían reducirse a sus formas normales.
Christiaan Huygens escribió en una ocasión a John Wallis sobre de Witt: «Si hubiera podido dedicar todas sus fuerzas a trabajos matemáticos, nos habría superado a todos». Su geometría fue su única contribución a las matemáticas puras, pero vinculó sus intereses matemáticos a los problemas financieros de la provincia de Holanda durante su largo mandato como gran pensionista. El principal medio de recaudar dinero para los Statres era mediante rentas vitalicias o fijas. En 1665 de Witt consiguió reducir el tipo de interés del 5 al 4 por ciento y estableció un fondo de amortización con los intereses ahorrados por la conversión acumulada a interés compuesto que se aplicaría a la deuda de Holanda, que podría así pagarse en cuarenta y un años. Sin embargo, la segunda guerra anglo-holandesa (1665-1667) hizo fracasar este plan. Las guerras inglesas fueron una sangría financiera perpetua, y más de la mitad de los gastos -casi sólo los costes de la guerra- fueron absorbidos por el pago de intereses.
En abril de 1671 se resolvió negociar los fondos mediante rentas vitalicias, limitando así la deuda a una generación. De Witt preparó un tratado para los Estados de Holanda demostrando matemáticamente que las rentas vitalicias se ofrecían a un tipo de interés demasiado alto en comparación con las rentas fijas. Durante muchos años, los tipos de interés de las rentas vitalicias habían sido el doble del tipo de interés estándar. Holanda había reducido recientemente el tipo de interés a veinticinco años de compra (4%) y estaba vendiendo rentas vitalicias a catorce años de compra (7%). De Witt quería aumentar el precio a dieciséis años de compra (6¼ por ciento). Su Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Losrenten (julio de 1671) es sin duda uno de los primeros intentos de aplicar la teoría de la probabilidad a los problemas económicos. Fue escrito como un documento político, y permaneció enterrado en los archivos durante casi doscientos años. Desde su descubrimiento y publicación por Frederick Hendriks en 1852 se han publicado muchos artículos (algunos de los cuales figuran en la bibliografía) que lo explican o critican sobre la base de la ciencia actuarial moderna. En realidad, se trata de una disertación muy sencilla e ingeniosa basada únicamente en el uso del principio de la expectativa matemática para formar contratos iguales.
De Witt enumeró los valores presentes al 4 por ciento de los pagos de anualidades de 10.000.000 de stuyvers (para evitar los decimales) por medio año, y sumó las expectativas matemáticas utilizando tasas de mortalidad hipotéticas para diferentes edades. En primer lugar, supuso que un hombre tiene la misma probabilidad de morir en la primera o en la última mitad de cualquier año, y luego, dado que las rentas vitalicias se compran generalmente sobre vidas jóvenes, extendió esta idea a cualquier medio año de los «años de pleno vigor» desde los tres hasta los cincuenta y tres años. En aras de la simplicidad, consideraba los primeros cien medios años igualmente destructivos o mortales, aunque afirmaba que la probabilidad de fallecimiento es realmente menor en los primeros años. También se detuvo en la edad de ochenta años, aunque muchos viven más allá de esa edad. En los diez años siguientes, de los cincuenta y tres a los sesenta, la probabilidad de morir no supera más que en la proporción de 3 a 2 la probabilidad de morir en el primer período; de los sesenta y tres a los setenta, la probabilidad de morir no es más de 2 a 1; y de los setenta y tres a los ochenta, no más de 3 a 1.
De Witt da muchos ejemplos para explicar el uso del concepto de expectativa matemática. El siguiente es básico para sus cálculos posteriores, y ha sido pasado por alto por muchos comentaristas. Consideremos un hombre de cuarenta años y otro de cincuenta y ocho. Según sus presupuestos, las probabilidades de que el hombre mayor muera, comparadas con las del más joven, son de 3 a 2. Se podría idear un contrato igual: si la persona de cincuenta y ocho años muere en seis meses, el más joven hereda 2.000 florines, pero si el hombre de cuarenta años muere en seis meses, el mayor hereda 3.000 florines. Es decir, la probabilidad de que el hombre de cincuenta y ocho años gane 3.000 florines es de 2 a 3, o, en términos de los cálculos de las rentas vitalicias de De Witt, la probabilidad de recibir una determinada renta vitalicia en el segundo período es de dos tercios de la del primer período.
A partir de este razonamiento, los cálculos de de Witt son sencillos: suma los valores actuales para los primeros cien medios años; dos tercios de los valores actuales para los siguientes veinte medios años; para los siguientes veinte, la mitad de los valores actuales; y un tercio para los últimos catorce. Se suman todos estos valores y se toma la media, lo que da algo más de dieciséis florines como valor actual de un florín de renta vitalicia joven y sana. Si el método se hubiera aplicado a las tablas de mortalidad reales, el trabajo habría sido formidable. Más tarde, en 1671, de Witt y Jan Hudde mantuvieron una correspondencia sobre el problema de las anualidades de supervivencia en más de una vida, y aquí ambos utilizaron cifras reales de mortalidad tomadas de los registros de anualidades de Holanda. Trabajando con varios grupos de al menos cien personas de una edad determinada, de Witt desarrolló tasas adecuadas para las anualidades sobre dos vidas. Éstas se extendieron a posteriori a cualquier número de vidas mediante un triángulo de Pascal, con la promesa a Hudde de establecer los resultados a priori. Esta fue la culminación del trabajo de de Witt con las rentas vitalicias, pero por razones políticas sugirió a Hudde que no se informara al público de los resultados de su estudio, ya que estaban dispuestos a comprar rentas vitalicias sobre más de una vida a la tasa actual, que era favorable para el gobierno.
BIBLIOGRAFÍA
I. Obras originales. Elementa curvarum linearum, en la ed. latina de Frans van Schooten de la Géométrie de Descartes, Geometria a Renato Descartes (Amsterdam, 1659-1661). Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Los-renten (La Haya, 1671; ed. facs. Haarlem, 1879). Seis volúmenes de cartas en Werken van het Historish Genootschap te Utrecht, 3ª serie, XVIII, XXV, XXXI, XXXIII, XLII, XLIV (1906-1922). El volumen XXXIII contiene cartas a y de los matemáticos, incluidas las dirigidas a Jan Hudde sobre las anualidades en más de una vida.
II. Literatura secundaria. De las muchas biografías de de Witt, Nicolaas Japikse, Johan de Witt (Amsterdam, 1915), es indispensable. También es valioso G. A. Lefévre-Pontalis, Jean de Witt, Grand Pensionnaire de Hollande, 2 vols. (París, 1884); traducción al inglés, S. F. Stephenson y A. Stephenson (Londres, 1885). Para un análisis fiable del periodo y de las relaciones entre de Witt y Guillermo III, véase Pieter Ceyl, The Netherlands in the Seventeenth Century, Part Two 1648-1715 (Londres, 1964), y su Oranje en Stuart (Utrecht, 1939), transcripción inglesa, Arnold Pomerans (Londres. 1969). Para la geometría, véase P. van Geer, «Johan de Witt als Wiskundige», en Nieuw Archief voor Wiskundige, 2ª ser, 11 (1915), 98-126; y C. B. Boyer, History of Analytic Geometry (Nueva York, 1956).
Una traducción al inglés de la obra sobre rentas vitalicias puede encontrarse en Frederick Hendricks, «Contributions to the History of Insurance . . . a Restoration of the Grand Pensionary De Witt’ Treatise on Life Annuities», en The Assurance Magazine (ahora Journal of the Institute of Actuaries), 2 (1852), 230-258. Vols. 3 (1901), 10 (1908) y 11 (1909) del Archief voor Verzekeringe Wetenschap contienen artículos que ofrecen diversas críticas y explicaciones de los escritos de De Witt sobre las rentas vitalicias.
Joy B. Easton