(né à Dordrecht, Pays-Bas, le 24 septembre 1625 ; mort à La Haye, Pays-Bas, le 20 août 1672)
mathématiques.
De Witt était le fils de Jacob de Witt, bourgmestre de Dordrecht, et d’Anna van de Corput. Les deux familles étaient des membres éminents de la classe des régents qui gouvernaient les villes et les provinces des Pays-Bas. Il entre à l’école latine de Dordrecht en 1636, puis à l’université de Leyde en 1641. Il y étudie le droit et part en France en 1645 pour passer son diplôme à Angers. À Leyde, il étudia les mathématiques en privé avec Frans van Schooten le Jeune, et reçut de lui une excellente formation en mathématiques cartésiennes. De Witt était un mathématicien de talent qui avait peu de temps à consacrer aux mathématiques. Il devient pensionnaire de Dordrecht en 1650 et grand pensionnaire de Hollande en 1653, ce qui fait de lui le chef du parti des États et, de fait, le premier ministre des Pays-Bas. Homme d’État d’une capacité et d’une force de caractère inhabituelles, il dirigea les affaires des Provinces-Unies pendant l’interrègne de vingt ans de la Stadtholdership, durant la minorité de Guillaume d’Orange. Ce fut l’une des périodes les plus critiques de l’histoire néerlandaise, avec les trois guerres anglo-néerlandaises ; l’hostilité de la faction d’Orange culmina avec le meurtre de de Witt et de son frère Cornelis par une foule en 1672.
L’œuvre mathématique la plus importante de de Witt fut son Elementa curvarum linearum, écrite avant 1650 et imprimée dans la deuxième édition latine de la Géométrie de Descartes par Van Schooten (1659-1661). Il se compose de deux livres : le premier, un traitement synthétique de la théorie géométrique trouvée dans les premiers livres des Coniques d’Apollonius ; et le second, l’un des premiers développements systématiques de la géométrie analytique de la ligne droite et de la conique. Dans le premier livre, les symptomatiques (exprimés en proportions) de la parabole, de l’ellipse et de l’hyperbole sont dérivés en tant que lieux plans, plutôt que comme sections de la conique. Ses définitions des lieux de l’ellipse nous sont aujourd’hui familières : la construction de l’angle excentrique (un point fixe par rapport à un segment en rotation) ; la construction du tramway (un point fixe sur un segment donné se déplaçant sur deux lignes qui se croisent) ; et la construction de la « corde », basée sur la définition des deux foyers. Pour l’hyperbole et la parabole, le lieu est construit comme l’intersection des membres correspondants de deux crayons de lignes, l’un parallèle et l’autre concourant. En termes modernes, ce sont des exemples involontaires intéressants de la définition projective de Steiner-Chasles des coniques, où le sommet d’un crayon est à l’infini.
De Witt est crédité d’avoir introduit le terme « directrix » pour la parabole, mais il est clair dans sa dérivation qu’il n’utilise pas le terme pour la ligne fixe de notre définition foyer-directrix. Étant donné les lignes fixes DB et EF se coupant en D, avec B le pôle et EF le directrix : pour tout point H sur EF, si ∠HBL est construit égal à ∠FDB, une ligne par H parallèle à BD coupe BL en G, un point sur le locus. On trace AC par B avec ∠DBC = ∠BDF, coupant HG en I, et on trace GK parallèlement à AC. Puisque les triangles BDH et GKB sont semblables, (BI)2 =(BD) (BK) ou y2 = px, une parabole dont le sommet est en B, l’abscisse BK = x, et l’ordonnée KG = y. Si EF est perpendiculaire à DB, on obtient un système de coordonnées rectangulaires, mais EF n’est pas notre directrice.
Dans le premier livre des Elementa, de Witt a non seulement libéré les coniques du cône avec ses constructions cinématiques, mais a satisfait aux critères cartésiens de constructibilité. Ce livre a été écrit, comme il l’a rapporté à van Schooten, pour donner un fond pour le nouveau développement analytique du deuxième livre. Il commence le traitement analytique en montrant que les équations du premier degré représentent des lignes droites. Comme il était d’usage à l’époque, il n’a pas utilisé les coordonnées négatives, et n’a représenté graphiquement que des segments ou des rayons dans le premier quadrant. Il a soigneusement expliqué la construction réelle des lignes pour des coefficients arbitraires
car elles seraient nécessaires dans ses transformations réduisant les équations quadratiques générales aux coniques de type. Pour chaque conique, de Witt commençait par des équations simplifiées équivalentes à ses formes standard du livre I, puis utilisait des translations et des rotations pour réduire les équations plus compliquées aux formes canoniques. Par exemple, dans l’hyperbole
il laisse
et ensuite
v = x + h
où h est le coefficient du terme linéaire en x après la première substitution, donnant
une hyperbole standard qui coupe les nouveaux axes v ou z selon que hh est supérieur ou inférieur à. Bien que de Witt semble être conscient de la caractéristique de l’équation quadratique générale dans le choix de ses exemples, il ne mentionne pas explicitement son utilisation pour déterminer le type de conique sauf dans le cas de la parabole. Là, il précise que, si les termes du second degré sont un carré parfait, l’équation représente une parabole.
Le dernier chapitre est une synthèse des différentes transfomations montrant comment construire les graphes de toutes les équations du second degré. Chaque cas de coefficients positifs et négatifs doit être traité séparément dans un dessin, mais la discussion pour chaque courbe est complètement générale, et les axes originaux et transformés sont dessinés.
En plus des simplifications algébriques des courbes à la forme normale, le livre II contient la propriété habituelle foyer-directrice de la parabole et les dérivations analytiques de l’eilipse et de l’hyperbole comme lieu des points dont la somme ou la différence des distances de deux points fixes est une constante. Ces dérivations sont effectuées de la manière moderne, en élevant deux fois au carré, avec l’utilisation explicite du théorème de Pythagore au lieu de la formule de distance plus récente.
Les Elementa de De Witt et le Tractatus de sectionibus conicis de John Wallis (1655) sont considérés comme les premiers manuels de géométrie analytique. Bien que Wallis ait soulevé la question de la priorité, leurs approches étaient différentes et complètement indépendantes. Wallis a d’abord défini les coniques comme des équations du second degré et a déduit les propriétés des courbes à partir des équations, tandis que de Witt les a définies géométriquement dans le plan, puis a montré que les équations quadratiques pouvaient être réduites à ses formes normales.
Christiaan Huygens a écrit un jour à John Wallis à propos de de de Witt : « S’il avait pu épargner toutes ses forces pour des travaux mathématiques, il nous aurait tous surpassés. » Sa géométrie est sa seule contribution aux mathématiques pures, mais il a lié ses intérêts mathématiques aux problèmes financiers de la province de Hollande tout au long de son long mandat de grand pensionnaire. Le principal moyen de collecter des fonds pour les Statres était les rentes viagères ou fixes. En 1665, de Witt réussit à réduire le taux d’intérêt de 5 à 4 pour cent et établit un fonds d’amortissement avec les intérêts économisés par la conversion accumulés à intérêt composé pour être appliqués à la dette de la Hollande, qui pouvait ainsi être payée en quarante et un ans. La deuxième guerre anglo-hollandaise (1665-1667) a toutefois fait échouer ce projet. Les guerres anglaises étaient un gouffre financier perpétuel, et plus de la moitié des dépenses (les coûts de la guerre, presque uniquement) étaient englouties dans le paiement des intérêts.
En avril 1671, il fut décidé de négocier des fonds par des rentes viagères, limitant ainsi la dette à une génération. De Witt a préparé un traité pour les Etats de Hollande démontrant mathématiquement que les rentes viagères étaient offertes à un taux d’intérêt trop élevé par rapport aux rentes fixes. La Hollande a récemment réduit le taux d’intérêt à vingt-cinq ans d’achat (4 %) et vend des rentes viagères à quatorze ans d’achat (7 %). De Witt voulait porter le prix à seize ans d’achat (6¼ pour cent). Son Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Losrenten (juillet 1671) est certainement l’une des premières tentatives d’application de la théorie des probabilités aux problèmes économiques. Rédigé comme un document politique, il est resté enfoui dans les archives pendant près de deux cents ans. Depuis sa découverte et sa publication par Frederick Hendriks en 1852, de nombreux articles (dont certains figurent dans la bibliographie) l’ont expliqué ou critiqué sur la base de la science actuarielle moderne. Il s’agit en fait d’une dissertation très simple et ingénieuse basée uniquement sur l’utilisation du principe de l’espérance mathématique pour former des contrats égaux.
De Witt a énuméré les valeurs actuelles à 4 pour cent des paiements de rente de 10 000 000 stuyvers (pour éviter les décimales) par semestre, et a additionné les espérances mathématiques en utilisant des taux de mortalité hypothétiques pour différents âges. Il a d’abord présupposé qu’un homme a la même probabilité de mourir au cours du premier ou du dernier semestre de n’importe quelle année, puis, comme les rentes étaient généralement achetées sur de jeunes vies, il a étendu cette hypothèse à n’importe quel semestre des « années de pleine vigueur » de l’âge de trois à cinquante-trois ans. Pour simplifier, il a considéré les cent premiers semestres comme également destructeurs ou mortels, bien qu’il ait déclaré que la probabilité de décès est en fait plus faible au cours des premières années. Il s’est également arrêté à l’âge de quatre-vingts ans, bien que beaucoup vivent au-delà de cet âge. Dans les dix années suivantes, de cinquante-trois à soixante-trois ans, la probabilité de mourir ne dépasse pas plus que dans la proportion de 3 à 2 la probabilité de mourir dans la première période ; de soixante-trois à soixante-treize ans, la probabilité de mourir ne dépasse pas 2 à 1 ; et de soixante-treize à quatre-vingts ans, pas plus que 3 à 1.
De Witt donne de nombreux exemples pour expliquer l’utilisation du concept d’espérance mathématique. Le suivant est fondamental pour ses calculs ultérieurs, et a été négligé par de nombreux commentateurs. Considérons un homme de quarante ans et un homme de cinquante-huit ans. Selon ses présupposés, les chances de décès de l’homme le plus âgé par rapport à l’homme le plus jeune sont de 3 à 2. Un contrat égal pourrait être conçu : si la personne de cinquante-huit ans meurt dans six mois, l’homme le plus jeune hérite de 2 000 florins, mais si l’homme de quarante ans meurt dans six mois, l’aîné hérite de 3 000 florins. C’est-à-dire, la chance que l’homme de cinquante-huit gagne 3 000 florins. est comme 2 à 3, ou, en termes de calculs d’annuité de Witt, la chance de recevoir un paiement d’annuité particulier dans la deuxième période est de deux tiers que dans la première période.
De ce raisonnement, les calculs de de Witt sont simples : il additionne les valeurs actuelles pour les cent premières demi-années ; les deux tiers des valeurs actuelles pour les vingt demi-années suivantes ; pour les vingt suivantes, la moitié des valeurs actuelles ; et un tiers pour les quatorze dernières. On fait la somme de toutes ces valeurs et on prend la moyenne, ce qui donne un peu plus de seize florins comme valeur actuelle d’un florin de rente sur une vie jeune et saine. Si cette méthode avait été appliquée à des tables de mortalité réelles, le travail aurait été formidable. Plus tard, en 1671, de Witt et Jan Hudde ont correspondu sur le problème des rentes de survie sur plus d’une vie, et tous deux ont utilisé des chiffres de mortalité réels tirés des registres de rentes de Hollande. En travaillant avec plusieurs groupes d’au moins cent personnes d’un âge donné, de Witt a développé des taux appropriés pour les rentes sur deux vies. Ces taux ont été étendus a posteriori à un nombre quelconque de vies par un triangle de Pascal, avec la promesse à Hudde d’établir les résultats a priori. C’était l’aboutissement des travaux de de Witt sur les rentes, mais pour des raisons politiques, il suggéra à Hudde de ne pas informer le public des résultats de leur étude, puisqu’il était prêt à acheter des rentes sur plus d’une vie au taux actuel, qui était favorable au gouvernement.
BIBLIOGRAPHIE
I. Œuvres originales . Elementa curvarum linearum, dans l’édition latine de Frans van Schooten de la Géométrie de Descartes, Geometria a Renato Descartes (Amsterdam, 1659-1661). Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Los-renten (La Haye, 1671 ; facs. ed. Haarlem, 1879). Six volumes de lettres dans Werken van het Historish Genootschap te Utrecht, 3e série, XVIII, XXV, XXXI, XXXIII, XLII, XLIV (1906-1922). Le volume XXXIII contient des lettres à et de mathématiciens, y compris les lettres à Jan Hudde sur les rentes sur plus d’une vie.
II. Littérature secondaire. Parmi les nombreuses biographies de de Witt, Nicolaas Japikse, Johan de Witt (Amsterdam, 1915), est indispensable. Encore précieux est G. A. Lefévre-Pontalis, Jean de Witt, Grand Pensionnaire de Hollande, 2 vols. (Paris, 1884) ; traduction anglaise, S. F. Stephenson et A. Stephenson (Londres, 1885). Pour une discussion fiable de la période, et des relations entre de Witt et Guillaume III, voir Pieter Ceyl, The Netherlands in the Seventeenth Century, Part Two 1648-1715 (Londres, 1964), et son Oranje en Stuart (Utrecht, 1939), traduction anglaise, Arnold Pomerans (Londres, 1969). Pour la géométrie, voir P. van Geer, « Johan de Witt als Wiskundige », in Nieuw Archief voor Wiskundige, 2nd ser, 11 (1915), 98-126 ; et C. B. Boyer, History of Analytic Geometry (New York, 1956).
Une traduction anglaise de l’ouvrage sur les rentes viagères se trouve dans Frederick Hendricks, « Contributions to the History of Insurance . . a Restoration of the Grand Pensionary De Witt’ Treatise on Life Annuities », dans The Assurance Magazine (maintenant Journal of the Institute of Actuaries), 2 (1852), 230-258. Vol. 3 (1901), 10 (1908), et 11 (1909) de l’Archief voor Verzekeringe Wetenschap contiennent des articles offrant diverses critiques et explications des écrits de de Witt’ sur les rentes.
Joy B. Easton
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