(b. Dordrecht, Netherlands, 24 September 1625; d. The Hague, Netherlands, 20 August 1672)
mathematics.De Wittはドルトレヒトの行政長官ヤコブ・デ・ウィットとアナ・ファン・デ・コルプットの息子であった。 両家ともオランダの町や地方を統治する摂政階級の有力者であった。 1636年にドルドレヒトのラテン語学校に入学し、1641年にライデン大学に入学する。 そこで法律を学び、1645年にフランスに渡り、アンジェで学位を取得した。 ライデンでは、フランツ・ファン・シューテン・ザ・ヤンガーに個人的に数学を学び、彼からデカルト派の数学について優れた訓練を受けた。 デ・ウィットは才能ある数学者であったが、数学に割く時間はほとんどなかった。 1650年にドルドレヒトの年金生活者となり、1653年にはオランダの大年金生活者となり、州党のリーダーとして、事実上、オランダの首相となったのである。 彼は、オランジュ公ウィリアムの少数民族時代の20年にわたるシュタットホルダーの空位期間中に、連合王国の事務を指導した、並外れた能力と強い性格を持つ政治家であった。 1672年、オレンジ派の敵対により、デ・ウィットと弟のコルネリスが暴徒に殺害された。
デ・ウィットの最も重要な数学作品は『Elementa curvarum linearum』で、1650年以前に書かれ、ヴァン・シューテンによるデカルト『Géométrie』の第2版（1659-1661）において印刷された。 最初の本は、アポロニウスの『円錐』の初期の本に見られる幾何学理論を総合的に扱ったもので、2冊目は、直線と円錐の解析幾何学の最初の体系的展開の一つである。 第1巻では、放物線、楕円、双曲線の徴候（比例で表される）が、円錐の断面としてではなく、平面の軌跡として導出されている。 楕円の軌跡の定義は、偏心角の構成（回転する線分に対して固定された点）、トラメルの構成（与えられた線分上の固定点が、交差する2本の線上を移動する）、2焦点の定義に基づく「ひも」の構成など、今日私たちに馴染みのあるものである。 双曲線と放物線では、軌跡は平行線と並行線の2本の鉛筆の対応する部材の交点として構成される。 現代風に言えば、これらは、一方の鉛筆の頂点が無限遠にある、円錐のシュタイナー・チャスル射影定義の意図しない面白い例です。
De Wittは放物線に対して「直交」という用語を導入したとされていますが、彼の導出から、我々の焦点-直交定義における固定線に対してこの用語を使っていないことが明らかです。 Dで交わる固定線DBとEFがあり、Bを極、EFを直交とするとき、EF上の任意の点Hに対して、∠HBLが∠FDBと等しく構成されていれば、Hを通りBDと平行な線が軌跡上の点GでBLを切断する。 ACは∠DBC＝∠BDFでBを通り、IでHGを切断し、GKはACに平行に引かれる。 三角形BDHとGKBは相似形なので、(BI)2 =(BD) (BK) または y2 = px、頂点がB、横軸BK = x、縦軸KG = yの放物線となる。EFがDBに垂直な場合、直角座標系が得られるがEFは我々の指示線ではない
Elementa 第1集の中で、デ・ウィットは運動的構成によって円錐を錐から自由にするだけではなく、構成可能性について直交基準を満足させたのです。 この本は、彼がヴァン・シューテンに報告したように、第2巻の新しい解析的展開のための背景を与えるために書かれたものであった。 彼は、1次の方程式が直線を表すことを示すことから解析的な取り扱いを始めた。 当時の常として、彼は負の座標を使わず、第1象限内の線分や光線だけをグラフにした。 彼は、任意の係数
に対する直線の実際の作図を注意深く説明し、それは一般的な二次方程式を型二次方程式に還元する変換に必要とされるからである。 各二次曲線について、ドゥ・ウィットはまず第I巻の標準形に相当する簡略化した方程式から始め、次に並進と回転を使ってより複雑な方程式を正準形式に還元していった。 例えば双曲線
では、
v = x + h
ここでhは最初の代入後のxの線形項の係数で、
は新しいvまたはz軸を、hhがそれより大きいか小さいかに従って切断する標準双曲線となる。 ドゥ・ウィットは例を選ぶ際に一般的な二次方程式の特徴を意識しているようであるが、放物線の場合を除き、円錐の種類を決定するためにそれを使うことは明言されていない。 そこで彼は、2次の項が完全平方であれば、方程式は放物線を表すと述べている。
最後の章は、2次のすべての方程式のグラフを構築する方法を示す、さまざまな変換をまとめたものである。
曲線の正規形への代数的単純化に加えて、第2巻には放物線の通常の焦点-直線の性質と、2つの固定点からの距離の和または差が定数となる点の軌跡としての楕円と双曲線の解析的導出が収められている。 これらは現代的な方法で行われ、2乗し、最近の距離の公式の代わりにピタゴラスの定理を明示的に使用しています。
De Witt の Elementa と John Wallis の Tractatus de sectionibus conicis (1655) は解析幾何学の最初の教科書とみなされています。 ウォリスは優先順位の問題を提起したが、両者のアプローチは異なり、完全に独立したものであった。
クリスティアン・ホイヘンスは、ジョン・ウォリスに、デ・ウィットについて、”もし彼が数学的研究に全力を尽くしていたならば、彼は我々全員を凌駕しただろう “と書いている。 彼の幾何学は純粋数学への唯一の貢献であったが、彼は大年金者としての長い在任期間中、その数学的関心をオランダの財政問題に結びつけていた。 スタトレの資金調達の主な手段は、終身年金や定額年金であった。 1665年、デ・ウィットは利率を5パーセントから4パーセントに引き下げることに成功し、複利で積み立てた転換利息をオランダの債務に充当する沈没基金を設立し、41年後に支払うことができるようになった。 しかし、第二次英蘭戦争（1665-1667）で、この計画は破綻する。 1671年4月、終身年金による資金調達が決定され、債務が一世代に限定されることになった。 デ・ウィットはオランダ国家のために論文を書き、終身年金が定額年金に比べて高すぎる金利で提供されていることを数学的に証明した。 オランダは最近、利率を25年（4％）に引き下げ、14年（7％）で終身年金を販売していた。 デ・ウィットは16年物（6¼パーセント）に値上げしようと考えた。 彼のWaerdye van Lyf-renten naer proportie van Losrenten (July, 1671)は、確率論を経済問題に適用しようとした最初の試みの一つであることは確かである。 この論文は政治論文として書かれ、200年近くも書庫に埋もれたままだった。 1852年にフレデリック・ヘンドリクスが発見、出版して以来、多くの論文（そのいくつかは文献目録に掲載されている）が、現代の数理科学に基づいて説明、批判している。 デ・ウィットは、半年間に10,000,000スチューベル（小数点を避けるため）の年金を4％で支払う場合の現在価値をリストアップし、異なる年齢の仮想的な死亡率を用いて数学的な期待値を合計したものである。 彼はまず、人はどの年の前半にも後半にも同じように死ぬ可能性があると仮定し、次に、年金は一般に若い生命で購入されるので、これを3歳から53歳までの「完全に元気な年」のどの半年にも拡大した。 しかし、最初の数年間は、死亡の可能性は実際より小さいと述べている。 そのため、80歳までとしたが、それ以上生きる人も多い。 次の10年間、53歳から63歳までは、死ぬ可能性は最初の期間に死ぬ可能性の3対2の割合以上にはならず、63歳から73歳までは、死ぬ可能性は2対1以上にはならず、73歳から80歳までは、3対1以上にはならない」
デ・ウィットは多くの例を挙げて、数学的期待値の概念の使用について説明している。 次のものは、彼の後の計算の基本であり、多くの解説者によって見落とされてきたものである。 四十歳の男と五十八歳の男を考える。 もし、五十八歳の人が六ヵ月後に死んだら、若い人が二千フロリンを相続し、四十歳の人が六ヵ月後に死んだら、年長者が三千フロリンを相続する、という等しい契約を考えることができる。 つまり、58歳の人が3,000フロリンを得る確率は2対3、ド・ウィットの年金計算でいえば、ある年金を第2期で受け取る確率は第1期の3分の2である。
このことから、ドゥ・ウィットの計算は簡単で、最初の半年の現在価値を合計し、次の半年の現在価値を3分の2、次の20年の現在価値を2分の1、そして最後の14年の現在価値を3分の1としている。 これらを合計して平均をとると、若くて健康な人生の1フロリンの年金の現在価値として16フロリン強となる。 この方法を実際の死亡率表に適用したら、大変な労力を要したことだろう。 その後1671年にデ・ウィットとヤン・フーデは、二人以上の生命に対する遺族年金の問題で連絡を取り合い、ここでもオランダの年金記録から得た実際の死亡率の数字を用いた。 デ・ウィットは、ある年齢の少なくとも100人のグループと協力して、2回の生命に対する年金の適切な料率を開発した。 これは、パスカルの三角形によって、任意の数の生命に事後的に拡張され、その結果を先験的に確立することをフーデに約束させた。 これはドゥ・ウィットの年金に関する研究の集大成であったが、政治的な理由から、彼はフーデに、国民は政府にとって有利な現在の利率で複数の生命に対する年金を喜んで購入するので、彼らの研究結果を知らせないように提案した
BIBLIOGRAPHY
I. 原著。 Elementa curvarum linearum, in Frans van Schooten’ Latin ed. of Descartes’s Géométrie, Geometria a Renato Descartes (Amsterdam, 1659-1661)。 また、”Waerdye van Lyf-renten naer proportie van Los-renten” (The Hague, 1671; facs. ed. Haarlem, 1879)がある。 Werken van het Historish Genootschap te Utrecht, 3d ser., XVIII, XXV, XXXI, XXXIII, XLII, XLIV (1906-1922) の6冊の書簡集。 第XXIII巻には、ヤン・フーデに宛てた二世以上の年金に関する書簡など、数学者との往復書簡が収められている
II. 二次文献の紹介。 デ・ウィットの伝記は数多くあるが、中でもニコラウス・ヤピクセ『ヨハン・デ・ウィット』（アムステルダム、1915年）は不可欠である。 また、G. A. Lefévre-Pontalis, Jean de Witt, Grand Pensionnaire de Hollande, 2 vols.も貴重である。 (Paris, 1884); 英文訳は S. F. Stephenson and A. Stephenson (London, 1885)である。 この時代、そしてデ・ウィットとウィリアム3世の関係については、Pieter Ceyl, The Netherlands in the Seventeenth Century, Part Two 1648-1715 (London, 1964), and his Oranje en Stuart (Utrecht, 1939), English trans., Arnold Pomerans (London. 1969) が確実である。 幾何学については、P. van Geer, “Johan de Witt als Wiskundige,” in Nieuw Archief voor Wiskundige, 2nd ser.,を参照。 11 (1915), 98-126、C. B. Boyer, History of Analytic Geometry (New York, 1956).
終身年金に関する著作の英訳は、Frederick Hendricks, “Contributions to the History of Insurance … a Restoration of the Grand Pensionary De Witt’ Treatise on Life Annuities” in The Assurance Magazine (now Journal of the Institute of Actuaries), 2 (1852), 230-258 に見られる。 Vols. Archief voor Verzekeringe Wetenschapの3巻（1901）、10巻（1908）、11巻（1909）には、デ・ウィットの年金に関する著作について様々な批判や解説を行う記事が掲載されている。