In einem großen Suppentopf, einem Pökelsack oder einer tiefen 5- bis 6-Quadratmeter-Schüssel den braunen Zucker und 1/3 Tasse grobes Salz vermischen. 2 Tassen sehr heißes Wasser hinzufügen und verquirlen, bis der Zucker aufgelöst ist. 6 Tassen kaltes Wasser einrühren. Das ganze Huhn innen und außen mit kaltem Wasser abspülen und in die Zucker-Salz-Lake legen. Falls erforderlich, eine schwere Platte auf das Huhn legen, damit es unter Wasser bleibt; 2 Stunden im Kühlschrank oder an einem anderen kühlen Ort ziehen lassen.
In der Zwischenzeit die Holzspäne in eine mittelgroße Schüssel geben. Fügen Sie 2 Tassen warmes Wasser hinzu und lassen Sie sie mindestens 30 Minuten stehen; lassen Sie sie abtropfen.
Entfernen Sie die Hälfte des Rosts von einem Gasgrill; heizen Sie ihn auf 400 Grad vor. Das Hähnchen aus der Salzlake nehmen und innen und außen gut mit kaltem Wasser abspülen. Die Bierdose öffnen und die Hälfte der Flüssigkeit wegwerfen oder aufbewahren. Den Deckel der Dose in den Hohlraum des Hähnchens stecken und das Hähnchen aufrecht auf ein großes Backblech oder Schneidebrett stellen. Die Flügel vorsichtig zurückklappen. Das Hähnchen mit dem EVOO einreiben.
Die Holzspäne in eine Aluschale oder Räucherbox geben und auf die Seite des Grills ohne Rost legen. Heben Sie das Hähnchen vom Backblech (mit der Bierdose im Inneren) und legen Sie es aufrecht auf den Rost an der Rückseite des Grills; decken Sie den Grill ab und halten Sie eine Temperatur von 400 bis 425 Grad aufrecht, indem Sie die Hitze unter den Holzspänen auf hoch erhöhen und unter dem Hähnchen auf niedrig reduzieren, falls nötig. Braten, bis das Huhn golden und knusprig ist und die Innentemperatur des Schenkels 160 Grad auf einem Fleischthermometer anzeigt, etwa 1 Stunde.
Mit einem Küchentuch in der einen und einem stabilen Metallspatel in der anderen Hand das Huhn auf ein sauberes Backblech legen; 15 bis 20 Minuten stehen lassen. Die Dose aus der Höhle entfernen; wegwerfen. Das Huhn tranchieren oder in Stücke schneiden und servieren.