Este acertijo se ha compartido con la afirmación de que sólo los genios pueden resolverlo.
11 × 11 = 4
22 × 22 = 16
33 × 33 =
Se ha hecho viral en Facebook y en Internet con millones de visitas ya que la gente ha debatido la respuesta correcta.
Se puede decir que hay muchas respuestas, ya que hay muchos patrones que se ajustan a la información dada. Sin embargo, hay 2 respuestas principales que son las más populares. Voy a repasar lo que mucha gente cree que es la respuesta correcta, y voy a explicar cómo los 2 enfoques principales son sabores de la misma idea.
Mira el video para una explicación.
¿Puedes resolver el rompecabezas viral 11×11 = 4? La respuesta correcta explicada
O sigue leyendo.
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«Todo irá bien si usas tu mente para tus decisiones, y la mente sólo para tus decisiones». Desde 2007, he dedicado mi vida a compartir la alegría de la teoría de los juegos y las matemáticas. MindYourDecisions cuenta ahora con más de 1.000 artículos gratuitos y sin anuncios gracias al apoyo de la comunidad. Ayude y obtenga acceso temprano a las publicaciones con un compromiso en Patreon.
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Respuesta al rompecabezas viral 11×11 = 4
La mayoría cree que la respuesta correcta es 36. El método para obtener la respuesta es tomar el producto de la suma de los dígitos de cada número que se multiplica.
Es decir:
aa × aa → (a + a)(a + a)
Este procedimiento coincide con el patrón del acertijo:
11 × 11 → (1 + 1)(1 + 1) = 4
22 × 22 → (2 + 2)(2 + 2) = 16
Y sugiere la respuesta de 36.
33 × 33 → (3 + 3)(3 + 3) = 36
Este «producto de la suma de dígitos» es lo que muchos creen que es la respuesta correcta. Pero hay debate.
Respuesta alternativa: 18
Otras personas pensaron en el acertijo en términos de hacer la multiplicación y luego tomar la suma de los dígitos en la respuesta. En otras palabras, se trata de encontrar la «suma de los dígitos del producto»
11 × 11 = 121 → 1 + 2 + 1 = 4
22 × 22 = 484 → 4 + 8 + 4 = 16
Este procedimiento sugiere una respuesta de 18.
33 × 33 = 1089 → 1 + 0 + 8 + 9 = 18
La «suma de los dígitos del producto» da 18, mientras que el «producto de la suma de los dígitos» da 36.
Parece que estos dos métodos son completamente diferentes. Sin embargo, hay una manera de ver que son sabores del mismo concepto. Y de esta manera, es posible obtener una respuesta de 36 al hacer la «suma de los dígitos del producto».
Obteniendo 36 de la suma del producto
Vamos a profundizar en los detalles de cómo calcular el producto de dos números y cómo sumar los dígitos de la respuesta.
El número 11 se puede escribir como 10 + 1, por lo que tenemos:
11 × 11
= (10 + 1)(10 + 1)
= 1(100) + 2(10) + 1(1)
= 121
Las cifras de la respuesta son los coeficientes de las sumas de potencias de 10, que es como se escriben los números decimales. La suma de los dígitos de la respuesta es 1 + 2 + 1 = 4.
De forma similar, el número 22 se puede escribir como 20 + 2, por lo que tenemos:
22 × 22
= (20 + 2)(20 + 2)
= 4(100) + 8(10) + 4(1)
= 484
De nuevo, la suma de los dígitos es la suma de los coeficientes de los términos unidos a las potencias de 10. La suma es 4 + 8 + 4 = 16.
¿Qué ocurre entonces con el 33? El número 33 se puede escribir como 30 + 3, por lo que tenemos:
33 × 33
= (30 + 3)(30 + 3)
= 9(100) + 18(10) + 9(1)
¿Qué ocurre si sumamos los términos unidos a las potencias de 10? Obtienes 9 + 18 + 9 = 36. Con este procedimiento se obtiene la respuesta 36.
¿Pero no se supone que la respuesta es 18 con este método? Sí, la razón es que 18(10) es mayor que 100, por lo que implica un arrastre. Podemos simplificar la respuesta como:
9(100) + 18(10) + 9(1)
= 9(100) + 10(10) + 8(10) + 9(1)
Ahora 10(10) = 100, por lo que aporta 1 término más al valor de 100.
9(100) + 10(10) + 8(10) + 9(1)
= 10(100) + 8(10) + 9(1)
Ahora 10(100) es igual a 1000, así que de nuevo tenemos arrastre.
10(100) + 8(10) + 9(1)
= 1(1000) + 0(100) + 8(10) + 9(1)
= 1089
Esto da la conocida respuesta de 1089, que es la que mostraría una calculadora para 33 × 33.
Pero podemos ver que 9(100) + 18(10) + 9(1) es una representación válida del producto, y la suma sería 36 si no pasamos por el proceso de arrastre.
Así que hemos encontrado una conexión entre los dos métodos.
aa × aa → (a + a)(a + a) = producto de la suma de dígitos = suma del producto (sin traspaso)
Es posible justificar la respuesta de 36 a partir de cualquiera de los dos métodos.
Otras formas de llegar a 36
En el vídeo, muestro lo mismo visualmente utilizando diagramas del método de «multiplicar por líneas». La respuesta en cada caso es el número de intersecciones de las líneas o «puntos» de la figura, y 33 × 33 tiene 36 puntos.
Via MindYourDecisions YouTube
La clave de la respuesta de 36 es la naturaleza multiplicativa del procedimiento. Empieza con 11 × 11 = 4 como dato. La segunda línea tiene dos términos que son 2 veces 11, por lo que la respuesta debería ser 2(2) = 4 veces mayor. La tercera línea tiene dos términos que son 3 veces 4, por lo que la respuesta debe ser 3(3) = 9 veces mayor.
11 × 11 = 4
22 × 22 = (2 × 11)(2 × 11) = 4(11 × 11) = 4(4) = 16
33 × 33 = (3 × 11)(3 × 11) = 9(11×11) = 9(4) = 36
Hay otro método para ilustrar la propiedad multiplicativa y evitar el arrastre: expresar la respuesta en términos de un módulo específico, como 39.